MECÂNICA GENERALIZADA GRACELI - QUÂNTICA QUÍMICA RELATIVISTA DIMENSIONAL [345]

G* = $\psi ^{*}$ = OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.

EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c} =$

$\psi ^{*}$ Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ $G* =$ $\psi ^{*}$

$COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..$

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

/ $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / T + M + P = / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Na teoria matemática dos processos estocásticos, o tempo local é um processo estocástico associado a processos de difusão como o movimento browniano, que caracteriza a quantidade de tempo que uma partícula dispende em determinado nível.^[1] O tempo local aparece em várias fórmulas de integração estocástica se o integrando não é suficientemente derivável, tal como a fórmula de Tanaka.^[2]^[3]^[4] Também é estudado em mecânica estatística no contexto de campos aleatórios.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Para um processo de difusão real $(B_{s})_{s\geq 0}$ , o tempo local de $B$ até o ponto $x$ é um processo estocástico. Matematicamente, a definição de tempo local é:

L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{s})\,ds

, /

/ T + M + P = / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde $B_{s}$ é o processo de difusão e $\delta$ é a função delta de Dirac. É uma noção inventada por Paul Lévy. A idéia básica é que $L^{x}(t)$ é uma medida (reescalonada) de quanto tempo $B_{s}$ dispendeu em $x$ até o momento $t$ . Pode ser escrito como:

L^{x}(t)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}1_{\{x-\varepsilon <B_{s}<x+\varepsilon \}}\,ds

/ T + M + P = / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

que explica porque é chamado de tempo local de $B$ em $x$ . Para um processo de espaço de estado discreto $(X_{s})_{s\geq 0}$ , o tempo local pode ser expresso de forma mais simples como:^[5]

L^{x}(t)=\int _{0}^{t}1_{\{x\}}(X_{s})\,ds

/ T + M + P = / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Fórmula de Tanaka[editar | editar código-fonte]

A fórmula de Tanaka fornece uma definição de tempo local para um semimartingale contínuo arbitrário $(X_{s})_{s\geq 0}$ em $\mathbb {R}$ :^[6]

L^{x}(t)=|X_{t}-x|-|X_{0}-x|-\int _{0}^{t}\left(1_{(0,\infty )}(X_{s}-x)-1_{(-\infty ,0]}(X_{s}-x)\right)dX_{s},\qquad t\geq 0

/ T + M + P = / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Uma forma mais geral foi provada independentemente por Meyer^[7] e Wang;^[8] a fórmula estende o lema de Itô para duas funções diferenciáveis para uma classe mais geral de funções. Se $F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ é absolutamente contínuo com a derivada $F'$ , que é de variação limitada, então:

F(X_{t})=F(X_{0})+\int _{0}^{t}F'_{-}(X_{s})dX_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }L^{x}(t)dF'(x)

/ T + M + P = / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde $F'_{-}$ é a derivada esquerda.

Se $X$ é um movimento browniano, então para qualquer $\alpha \in (0,1/2)$ o campo de tempos locais $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ tem uma modificação que é Hölder contínua em $x$ com expoente $\alpha$ , uniformemente para $x$ e $t$ .^[9] Em geral, $L$ tem uma modificação que é contínua em $t$ e càdlàg em $x$ .

A Fórmula de Tanaka fornece a forma explícita decomposição de Doob-Meyer para o movimento browniano refletido unidimensional, $(|B_{s}|)_{s\geq 0}$ . / T + M + P = / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Teoremas Ray–Knight[editar | editar código-fonte]

O campo de tempos locais $L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}$ associado a um processo estocástico no espaço $E$ é um tema bem estudado na área de campos aleatórios. Os teoremas do tipo Ray-Knight relacionam o campo $L_{t}$ com um processo Gaussiano associado.

Em geral, os teoremas Ray-Knight do primeiro tipo consideram o campo $L_{t}$ em um momento de batimento do processo subjacente, enquanto que os teoremas do segundo tipo são em termos de um tempo de parada no qual o campo de tempos locais primeiro excede um dado valor.

Primeiro teorema de Ray–Knight[editar | editar código-fonte]

Seja $(B_{t})_{t\geq 0}$ um movimento browniano unidimensional $B_{0}=a>0$ , e $(W_{t})_{t\geq 0}$ um movimento browniano bidimensional padrão $W_{0}=0\in R^{2}$ . Para definir o tempo de parada em que $B$ primeiro atinge a origem, $T=\inf\{t\geq 0\colon B_{t}=0\}$ , Ray^[10] e Knight^[11] (independentemente) mostraram que,

$\mathbf {(1)} \left\{L^{x}(T)\colon x\in [0,a]\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{|W_{x}|^{2}\colon x\in [0,a]\right\}\,$ / T + M + P = / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde $(L_{t})_{t\geq 0}$ é o campo dos tempos locais de $(B_{t})_{t\geq 0}$ , e a igualdade está na distribuição $C[0,a]$ . O processo $|W_{x}|^{2}$ é conhecido como o processo de Bessel ao quadrado.

Segundo teorema Ray–Knight[editar | editar código-fonte]

Seja $(B_{t})_{t\geq 0}$ um movimento browniano unidimensional padrão $B_{0}=0\in R$ , e seja $(L_{t})_{t\geq 0}$ um campo associado dos tempos locais. Seja $T_{a}$ a primeira vez em que o tempo local em zero excede $a>0$

T_{a}=\inf\{t\geq 0\colon L_{t}^{0}>a\}.

Seja $(W_{t})_{t\geq 0}$ um movimento browniano unidimensional independente $W_{0}=0$ , então^[12]

$\mathbf {(2)} \left\{L_{T_{a}}^{x}+W_{x}^{2}\colon x\geq 0\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{(W_{x}+{\sqrt {a}})^{2}\colon x\geq 0\right\}.\,$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Equivalentemente, o processo $(L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}$ (que é um processo na variável espacial $x$ ) é igual na distribuição ao quadrado de um processo de Bessel de dimensão 0, e como tal é markoviano.

Generalização dos teoremas de Ray–Knight[editar | editar código-fonte]

Os resultados do tipo Ray-Knight para processos estocásticos mais gerais têm sido intensamente estudados e as declarações (1) e (2) são conhecidos por processos Markov fortemente simétricos.

Em cálculo estocástico, a fórmula de Tanaka, que recebe este nome em homenagem ao matemático japonês Hiroshi Tanaka, afirma que:^[1]

$|B_{t}|=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn}(B_{s})dB_{s}+L_{t}$ , / T + M + P = / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$
$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

em $B_{t}$ é o movimento browniano padrão, $\operatorname {sgn}$ denota a função sinal

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x>0;\\0,&x=0\\-1,&x<0.\end{cases}}$ ,

e $L_{t}$ é seu tempo local em 0 (o tempo local gasto por $B$ em 0 antes do tempo $t$ ) dado pelo limite L²

L_{t}=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}|\{s\in [0,t]|B_{s}\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\}|

/ T + M + P = / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

A equação é geralmente escrita como:^[1]

{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nabla \cdot (D(\phi ,{\vec {r}})\nabla \phi ({\vec {r}},t))

/ T + M + P = / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Nesta expressão $\phi$ é a densidade do material que difunde, $t$ é o tempo, e $D$ é o coeficiente de difusão coletivo, ${\vec {r}}$ é a coordenada espacial e o símbolo nabla (∇) representa o vetor operador diferencial del. Se o coeficiente de difusão depende da densidade, então a equação não é linear; de outra maneira seria linear. Se D é constante, então a equação se reduz à seguinte equação linear:

{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi ({\vec {r}},t)

/ T + M + P = / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Mais geralmente, quando D é uma matriz simétrico definida positiva, a equação descreve uma difusão anisótrica.

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